Pochádza z Trenčianskych Teplíc. Po absolvovaní gymnázia v roku 1973 bol prijatý na odbor herectva Vysokej školy múzických umení v Bratislave, kde v ročníku študoval aj spolu s neskorším nitrianskym kolegom Jánom Greššom. Štúdium herectva absolvoval v roku 1976 a v roku 1977 sa stal členom umeleckého súboru Krajového divadla Nitra, neskôr Divadla Andreja Bagara v Nitre, kde pôsobil až do roku 2007 a vytvoril tu viac ako 100 dramatických postáv. Medzi jeho prvé herecké úlohy v Nitre patrili postava Maria v inscenácii Hra lásky a náhody v réžii Petra Scheuhaufera a Tybalt v Shakespearovej tragédii Romeo a Júlia (1979) v réžii Miloša Hynšta. V 80. rokoch bol tiež aktívnym členom nitrianskeho Divadla pod hradom, kde sa pod režijným vedením Jozefa Bednárika predstavil napríklad v inscenácii Tristan (1980). Účinkoval aj v mnohých ďalších známych inscenáciách Jozefa Bednárika: Titus Andronicus (1981), Koza (1981), Zojkin byt (1984), Perikles, kráľ tyrský (1984), Proso (1986), Meštiak šľachticom (1986). Počas svojej hereckej kariéry veľmi často spolupracoval aj s režisérom Karolom Spišákom, účinkoval napríklad v jeho inscenáciách Surovô drevo (1977), Tri v tom (1979), Takmer božský omyl (1981), Knieža (1985), Tanec nad plačom (1991), Čaj u pána senátora (1991), Pygmalion (1993), O myšiach a ľuďoch (1993). Na nitrianskych
doskách sa predstavil aj v úspešných muzikáloch Pacho sa vracia (1995), Fidlikant na streche (1998), Báthoryčka (2000), Grék Zorba (2001), Adam Šangala (2003), Tisícročná včela (2013, 2019), Povolanie pápež (2016). Do svojich postáv prinášal nadhľad a vtip, zmysel pre improvizáciu a vypointovanie situácie a tiež súhru s partnerom na javisku. Anton Živčic sa predstavil aj ako filmový a televízny herec. Na svojom konte má 15 filmov, takmer 40 televíznych filmov a 20 televíznych seriálov. Diváci si ho určite pamätajú z filmu Na krásnom modrom Dunaji (1994) a z televíznych seriálov Rex, Mesto tieňov, Kriminálka Staré mesto, Ordinácia v ružovej záhrade, Ako divé husi, Alžbetin dvor. Jeho veľkou záľubou je tenis. Niekoľko rokov organizoval v Nitre tenisové turnaje známych osobností. Od roku 2003 pôsobil ako poslanec mestského zastupiteľstva v Nitre a vedúci komisie kultúry Mestského úradu v Nitre, aktívne spolupracoval na rôznych kultúrnych projektoch v meste Nitra. V rokoch 2007 – 2017 pôsobil ako vedúci oddelenia kultúrnych aktivít Úradu nitrianskeho samosprávneho kraja. Dlhoročne spolupracuje aj s ochotníckym súborom Hron z Kozároviec, s ktorým režijne pripravil operetu Tie Tatry malebné a aktuálne pripravuje komédiu O čo ide. V roku 2016 získal cenu Literárneho fondu za celoživotné dielo v oblasti divadla a v roku 2023 ocenenie NSK Nitrianska Lunica.